By Christophe Mourougane

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Extra info for Algèbre et arithmétique 1

Sample text

En effet, si les deux premières assertions sont vérifiées, on a ???? + ???? = ???? + ???? et ???? + ???? = ???? + ???? ; alors, ???? + ???? + ???? = ???? + ???? + ???? = ???? + ???? + ????, d’où ???? + ???? = ???? + ???? en simplifiant par ????, donc (????, ????) est équivalent à (????, ???? ) (Transitivité). Notons Z l’ensemble des classes d’équivalence et notons ???? − ???? la classe du couple (????, ????). Ainsi, écrire ???? − ???? = ???? − ???? signifie exactement que les couples (????, ????) et (????, ????) sont équivalents, c’est-à-dire que ???? + ???? = ???? + ????. Les éléments de Z sont appelés entiers relatifs.

Supposons en effet que ???? divise ???? et soit ???? le quotient de sorte que ???? = ????????. Si ???? est un nombre premier, on a ???????? (????) = ???????? (????????) = ???????? (????) + ???????? (????), d’où ???????? (????) ≥ ???????? (????). Inversement, supposons que ces inégalités soient satisfaites et soit ???? l’entier positif défini par ????= ∏︁ ???????????? (????)−???????? (????) . ) On a ???????? = ???? si ???? et ???? sont de même signe, et ???????? = −???? sinon. Par suite, ???? divise ????. Concernant le pgcd et le ppcm de deux entiers, on en déduit les formules : ???????? (pgcd(????, ????)) = min(???????? (????), ???????? (????)) et ???????? (ppcm(????, ????)) = max(???????? (????), ???????? (????)).

La division euclidienne de ???? par ???? s’écrit ???? = ???????? + ????′ avec ????′ = ̸ 0 car ???? ne divise pas ????. On écrit ????′ ???? = ???????? − ????????????. Ainsi ???? divise ????′ ????. On obtient donc que ???? ≤ ????′ < ????. Considérons alors la division euclidienne de ???? par ???? ; elle s’écrit ???? = ???????? + ????, avec 0 ≤ ???? ≤ ???? − 1. Par suite, ???????? = ???????? − ???????????? est la différence de deux multiples de ????, donc est multiple de ????. Comme ???? était choisi minimal, cela entraîne ???? = 0, donc ???? = ????????. Puisque ???? est un nombre premier et que ???? < ????, on a nécessairement ???? = 1 et ???? divise ????.