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By Bruns W.

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F /. Dies beweist die letzte Aussage. Wir k¨onnen nun denn grundlegenden Satz u¨ ber die Division mit Rest formulieren. Wir lassen dabei gleich mehrere Teiler zu. 10. Seien f; g1 ; : : : ; gm 2 KŒX1 ; : : : ; Xn , g1 ; : : : gm ¤ 0. r /. Beweis. gi / geteiltg: D qm D 0 und r D f w¨ahlen. gi / geteilt. g/ Q D fb X b , so daß die X b -Terme sich gerade wegheben. f /: Definition. Man nennt r eine Reduktion von f modulo g1 ; : : : ; gm . gi / geteilt wird, nennt man f reduziert modulo g1 ; : : : ; gm .

Folgender Algorithmus berechnet dann die Faktorisierung von f mit Hilfe von Faktorkombinationen. Leider kommt man nicht darum herum, alle m¨oglichen Kombinationen auf m¨oglichste effiziente Art und Weise durchzuprobieren. 1. f ; f 0 / D 1 ¨ gilt. (2) Zerlege in Zp ŒX : f D b g1 gt . (3) Initialisiere T D f1; : : : ; tg, f D f , s D 1, c D b . (4) Gilt 2s > #T , gib f als irreduziblen Teiler von f aus und stoppe. T fuhre man aus: (5) Fur ¨ ¨ alle s -elementigen Teilmengen S (i) Bestimme g; h 2 ZŒX  mit kgk1 , khk1 < p=2 und gDc Y gi ; h D c i 2S Y gi i 2T nS (ii) Gilt cf D gh, dann gib den primitiven Teil von g als irreduziblen Teiler von f aus.

P Beweis. a/X a , wie man durch Anwendung der linken und rechten SeitePauf b 2 Nn sofort pr¨uft. Dies zeigt die Existenz der Darstellung. a/ D fa f¨ur alle a 2 Nn , was die Eindeutigkeit beweist. N / als Modul u¨ ber R. N / zur¨uck. B. X; Y; Z im Fall n D 3. 3. Seien S ein kommutativer Ring, ' W R ! S ein Ringhomomorphismus und y1 ; : : : ; yn 2 S. Dann existiert genau ein Homomorphismus von Ringen W RŒXx ; : : : ; Xn  ! Xi / D yi . Diesen Homomorphismus nennt man dann Substitutionshomomorphismus oder Einsetzungshomomorphismus.

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by Joseph

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