Download e-book for kindle: Categories of Algebraic Systems by M. Petrich

By M. Petrich

ISBN-10: 354007998X

ISBN-13: 9783540079989

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Insbesondere ist dim 71= 1 und dim K [Xl = 1. Wendet man b) auf den faktoriellen Ring K [XI' ... ,Xnl an, so sieht man auch, daB Hyperflachen (im Affinen wie im Projektiven) von Kodimension 1 sind (im umgebenden affinen oder projektiven Raum). * * * c) Ein Ring R {OJ besitzt genau dann die Dimension 0, wenn Spec(R) = Max(R) ist. Ein Integritiitsring R besitzt genau dann die Dimension 0, wenn er ein Korper ist. d) Fur einen O-dimensionalen Ring R mit noetherschem Spektrum (speziell einen noetherschen Ring) besitzt Spec (R) nur endlich viele Elemente (die zugleich maximale und minimale Primideale von R sind).

Xn liber einem Karper K. a) Eine formale Potenzreihe ~aVl'" vnX~I ... x:n(aVI ... Vn E K) ist genau dann Einheit in K [I Xl, ... ,Xn I], wenn der ,,konstante Term" ao ... 0 0 ist. b) K [I Xl, ... , Xn I] ist ein lokaler Ring. 6. ak: Rk ~ P (k = 1,2) seien zwei Ringhomomorphismen. Vnter dem Faserprodukt Rl x R2 von Rl und R2 liber P (bzgl. ai, a2) versteht man ein Tripel (S, (31, (32), * p wobei (3k : S ~ Rk (k = 1, 2) Ringhomomorphismen mit al 0 (31 = a2 0 (32 sind und folgende universelle Eigenschaft erflillt ist: 1st (T, 'YI, 'Y2) irgendein Tripel wie (S, (31, (32), so gibt es genau einen Ringhomomorphismus 0 : T ~ S mit 'Yk =(3k 0 0 (k = 1,2).

Xn, Y l , ... , Ym]/Rad(3(V),3(W)) ~ ~ (K [Xl,'" ,Xn , Y l , .. 3(W))red ~ (K [V] ®K K [WDre~. d) Es ist K [W] = K[X l , ... 3y(W). Berlicksichtigt man, wie die Elemente von K [V] und K [W] als Funktionen aufgefaEt werden, so sieht man, daE die Funktionen aus K [W] gerade die Beschrankungen der Funktionen aus K [V] sind, wobei zwei Funktionen auf V genau dann dieselbe Beschrankung in W besitzen, wenn sie modulo 3 y (W) kongruent zueinander sind. e) Es ist 1= 3 y (U) + 3 y (W)/3y (W) und my (3y (U) + 3 y (W)) = un W.