Angewandte Funktionalanalysis: Motivationen und Methoden für by Prof. Dr. Alfred Göpfert, Prof. Dr. Thomas Riedrich, Prof. PDF

By Prof. Dr. Alfred Göpfert, Prof. Dr. Thomas Riedrich, Prof. Dr. Christiane Tammer (auth.)

ISBN-10: 3834895725

ISBN-13: 9783834895721

ISBN-10: 3835101331

ISBN-13: 9783835101333

In diesem Buch werden Motivationen, Arbeitsweisen, Resultate und Anwendungen der Funkt- nalanalysis für Wirtschaftsmathematik und Mathematische Ökonomie dargestellt, die aber auch für Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften allgemein und für Informatik und Physik zutr- fen. Die erwähnten Arbeitsweisen und Resultate haben interessante historische Ursprünge, aus denen heraus sich durch umfassendere Modellierungen und Anwendungen funktionalanalytische Versionen gebildet haben, die heute normales Wissen in den jeweiligen Disziplinen sind. Wir möchten einige der historischen Quellen nennen. Der schottische Ökonom Adam Smith schrieb in seinem Buch 1776, dass ein ökonomisches Marktgeschehen (etwa eine Austauschökonomie) so funktioniere, als ob es „von einer unsic- baren Hand“ gesteuert würde. Das kann guy als einen frühen Hinweis auf einen gesteuerten Prozess ansehen mit dem Ziel, einen Gleichgewichtszustand in dem Marktgeschehen zu err- chen. Später, in den zwanziger Jahren des letzten Jahrhunderts, entwickelte sich die Spieltheorie, in der modernen shape wesentlich beginnend mit Arbeiten von John von Neumann (1903–1957), und in dem Buch von von Neumann und Morgenstern hatte sie ihren ersten Kulminationspunkt. Spiele wurden verallgemeinert (viele Spieler, Kontinua von Spielern, Koalitionen, allgemeinere Präferenzen, Ökonomien) und aus der Vielzahl der beitragenden Wissenschaftler möchten wir John Nash (geb. 1928), Träger des Nobelpreises für Wirtschaftswissenschaften 1994, nennen. Versionen von Nash-Gleichgewichtspunkten gehören zu den wichtigen Gegenständen der - dernen Ökonomie. Harry M. Markowitz entwickelte 1952 ein Portfolio-Optimierungsproblem, welches die Entscheidungen eines traders rational begründet. Für seine Forschungsarbeiten erhielt Markowitz 1990 den Nobelpreis für Wirtschaftswissenschaften. Eine weitere interessante Quelle der Mathematischen Ökonomie ist Paretos Ef?zienzbegriff.

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7) versteckt sich eine singuläre Distribution. Näheres dazu findet sich im Abschnitt über Distributionen. 1 Lineare Funktionale 31 Wir betrachten schließlich lineare Funktionale über dem Raum X = L2 [a, b] (vgl. 22 und die Bemerkungen dazu). 6), aber für Funktionen x ∈ L2 [a, b] und eine Funktion z ∈ L2 [a, b]. 8) ein lineares Funktional über L2 [a, b]. Im Weiteren schränken wir die Menge der betrachteten linearen Funktionale ein: In den Anwendungen sind nämlich die Urbildräume X oft normierte (oder lineare topologische) Räume und unter den auf ihnen definierten linearen Funktionalen sind die stetigen linearen Funktionale wichtig.

Mit anderen Worten, ist ein Banach-Raum X nicht reflexiv, so gibt es ein lineares stetiges Funktional auf X, welches sein Supremum auf der Einheitskugel nicht annimmt. h. wenn für jedes x ∈ X das Optimierungsproblem x − y → infy∈M , eine Lösung hat (vgl. Holmes [84], S. 161). 1 Das Rechnen mit linearen Operatoren Wir betrachten in diesem Kapitel Abbildungen (Operatoren, Funktionen) F : X → Y eines gegebenen Raumes X (dem Urbildraum) in einen gegebenen Raum Y (dem Bildraum), siehe hierzu auch Dunford und Schwartz [46].

N}} linear unabhängige Elemente in X. , n})}. , yn } darstellt, dann ist u0 = n ∑ a jy j j=1 das Element minimaler Norm in S. h. , n} gilt n ∑ aj j=1 yi | y j = ci . h. u0 ∈ S. Für u ∈ S gilt u0 | u − u0 = n ∑ aj j=1 n y j | u − ∑ a j y j | u0 = j=1 n n j=1 j=1 ∑ a j c j − ∑ a j c j = 0. Dies liefert u0 | u − u0 = 0 für alle u ∈ S. 1) ist u0 daher das Element minimaler Norm in S. 3 Anwendungen in den Wirtschaftswissenschaften In diesem Abschnitt beschreiben wir die Anwendung einiger Sätze aus dem Kapitel zur Approximation bei der Lösung betriebswirtschaftlicher Problemstellungen.

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by David
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