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By Ina Kersten

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So fortfahrend erhalten wir eine Zerlegung V = H1 ⊥ · · · ⊥Hm mit hyperbolischen Ebenen Hi . Nach Definition ist s|Rad V ×Rad V = 0 und wir spalten eine (unzerlegbare) isotrope Gerade ab Rad V = L1 ⊕ V˜ Trivialerweise ist die Zerlegung sogar orthogonal und s|V˜ ×V˜ = 0. 1 ist eine Isometrie definiert als eine bijektive, K-lineare Abbildung f : V −→ W , die v, v = f (v), f (v ) f¨ ur alle v, v ∈ V erf¨ ullt. Wir k¨onnen nun die regul¨ aren symplektischen R¨aume bis auf Isometrie klassifizieren: Korollar.

Folgt 3. −−→ −−→ −→ P Q + QR = P R. Wir haben uns hier von der Auszeichnung des Nullpunktes befreit. Spezialfall Sei X = V . Definiere X × V −→ X, (w, v) −→ w + v, durch Addition in V . ,3. erf¨ ullt. Also kann jeder K-Vektorraum als affiner Raum betrachtet werden. Falls V = K n ist, schreibt man ❆n (K). 21 Bahn und Stabilisator Sei X eine G-Menge (mit Linksaktion). Dann gelten 1. X ist ein disjunkte Vereinigung von Bahnen (auch Orbits genannt), das sind Teilmengen der Form Gx := {gx | g ∈ G} wobei x ∈ X ist.

Es sind b1 , b2 nicht beide negativ, denn sonst w¨are mit bi = a−b X = ∅ und also X ausgeartet. Wir erhalten die Normalform einer Ellipse (b1 , b2 beide > 0) oder einer Hyperbel (−bi > 0 f¨ ur ein i). 2. Fall In (1) ist a12 = 0 und ein aii = 0, etwa a22 = 0. Dann ist a11 = 0, da X sonst ausgeartet w¨are. Durch die Substitution x1 = y1 − 2aa111 erhalten wir f (x1 , x2 ) = a11 y12 + a2 x2 + c = 0 mit einem c ∈ ❘. Es ist a2 = 0, da X sonst ausgeartet w¨are. Mit der Substitution x2 = y2 − ac2 erh¨alt man a11 y12 + a2 y2 = 0.

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by William
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