Algèbre: Chapitre 4 à 7 - download pdf or read online

By N. Bourbaki

ISBN-10: 3540343989

ISBN-13: 9783540343981

Les Éléments de mathématique de Nicolas Bourbaki ont pour objet une présentation rigoureuse, systématique et sans prérequis des mathématiques depuis leurs fondements.

Ce deuxième quantity du Livre d Algèbre, deuxième Livre des Éléments de mathématique, traite notamment des extensions de corps et de l. a. théorie de Galois. Il comprend les chapitres: four. Polynômes et fractions rationnelles; five. Corps commutatifs; 6. Groupes et corps ordonnés; 7. Modules sur les anneaux principaux.

Il contient également des notes historiques.

Ce quantity est une nouvelle édition parue en 1981.

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Posons f = ( 1 u,) (IV, p. 25, prop. 2). D(h) d'où, par division par gh, D(gh)lgh = D(g)lg (21) + D(h)lh . (1 Pour toute partie finie M de L, posons fM = + u ~ ) On . déduit de (21), heM par récurrence sur Card M, la relation La prop. 9 est donc prouvée lorsque L est fini. Supposons désormais L infini et notons 8 l'ensemble ordonné filtrant des parties finies de L. On a lim3 fM = f, et par suite (IV, p. 29, remarque) La prop. 9 résulte alors par passage à la limite de (22). 7. Résolution des équations dans un anneau de séries formelles Lemme 2.

On a ,f' E S' = C[XJ et il existe donc un élément g = P(s, , .. , s,- ,) de C , homogène de degré m en X, , . , X,, tel que f - g soit divisible par X,. , X,-, , donc j' - g est divisible par s, = X I ... X,. Autrement dit, il existe h E S tel que f = g hs,, d'où deg h < m. Par récurrence sur m, on en déduit que f appartient à + On a ainsi prouvé que la A-algèbre S est engendrée par s, , .. , s,. Prouvons b). Si l'on substitue X, à X dans (4), on trouve (- 1 ) " " ~ = ~ xi + n- 1 (- l)n-k~n-kXk, ; k=l autrement dit, (- l)"+' s , est un polynôme unitaire en X,, de degré n, à coefficients dans C.

D'après la prop. 10 de IV, p. 35, il suffit de prouver la formule I(e(X)) = X . D'après les formules (36) et (37), et le cor. 3 de IV, p. 31, on a d'où I(e(X)) = X. Soit K une Q-algèbre. Les éléments de K[[I]] sans terme constant forment pour l'addition un groupe commutatif 6. Les éléments de K[[I]] de terme constant 1 forment pour la multiplication un groupe commutatif A' (IV, p. 29). D'après la prop. 14 ci-dessus, les applications f H 1 of et f t-+ e of sont des permutations réciproques de 6.

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Algèbre: Chapitre 4 à 7 by N. Bourbaki


by Steven
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