New PDF release: Algebraische Algorithmen zur Lösung von linearen

By Winfried Fakler

ISBN-10: 3322921042

ISBN-13: 9783322921048

ISBN-10: 3519021366

ISBN-13: 9783519021360

Maschinelles Lösen von Differentialgleichungen ist seit langem der Traum vieler Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure. Dessen Umsetzung hat sich allerdings als sehr hartnäckig erwiesen. Da gibt es einerseits mechanische und elektro-mechanische Verfahren, die seit dem Aufkommen elektronischer Rechenmaschinen verdrängt werden und heute praktisch durch numerische Verfahren abgelöst sind. Andererseits gibt es algebraische Verfahren, welche erst durch die Entwicklung von Computeralgebra-Systemen weite Verbreitung finden. Der Vorteil dieser Methoden liegt darin, daß sie Funktionen anstelle von Funktionswerten als Ergebnis zurückliefern. Das Gemeinsame aller algebraischen Verfahren ist ihre Kompliziertheit, die zu ihrem Verständnis bisher viel Theorie erforderte. Das vorliegende Buch stellt in einer möglichst einfach gehaltenen Darstellung neue Konzepte und Algorithmen zur exakten Lösung gewöhnlicher linearer Differentialgleichungen vor, die es sogar ermöglichen, erstens, alle Lösungen zu berechnen und zweitens, diese Lösungen durch Formeln zu bestimmen. Eine Einführung in die Benutzung der im Computeralgebra-System MuPAD implementierten Verfahren und eine Kurzbeschreibung der Funktionen ergänzen die Abhandlung. Aktuelle Informationen zu MuPAD und der projektbegleitenden Forschung sind auf der http://www.mupad.de>MuPAD Homepage zu finden.

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3 zeigt d· m = IQ(L)I. H = (xn) mit IHI = 2n ist eine maximale Untergruppe von Q(L). Sie ist zyklisch und damit abelsch und l-reduzibel und besitzt den gemeinsamen Eigenvektor aller Elemente z = Yl (z ist Losung von L(y) = 0). T = {x~,yx~} ist ein Vertretersystem der Linksnebenklassen von H in Q(L). Aus obigem erhalt man zusatzlich m = [Q(L) : H] = 2 und somit d = 2n. Daraus laBt sich nun das Minimalpolynom wie folgt berechnen P(Y) = = II (y2n - a(z)2n) (FEr (y2n _ (_Yl)2n) (y2n _ (_iY2)2n) = y4n _ (y~n + (_1)ny~n)y2n + (-lty~ny~n.

Fiir die Ikosaeder-Gruppe yom Grad 2 sind Fundamentalinvarianten. Sie erfiilIen die Relation Molien- und Hilbert-Reihe der Ikosaeder-Gruppe Z18 + Z16 - Z12 - Z10 - Z8 - z6 + Z2 + 1 zeigen, daB 1 1 ,12 und 13 den Invariantenring erzeugen, die angegebene Relation die einzige Syzygie ist, und sie liefem die Zerlegung in die graduierten Vektorraume Zum oben angegebenen in Invarianten dargestellten Minimalpolynom der Ikosaeder-Gruppe wurde 11 mit 1~5 multipliziert, h mit - 275\25 und 13 mit dem Faktor - 25~;25 .

1 eine eindeutige Losung u E VL mit (u(xo), ... ,u(n-l) (xo)) T = (0'1, ... ,an-If. Also ist cp bijektiv und damit ist VL isomorph zu en und dime VL = n. 5). Aufgrund dieser Korrespondenzen kann man mit Hilfe der Gruppentheorie Aussagen liber homogene line are Differentialgleichungen machen. In der Praxis genligt es, in einer algebraischen Korpererweiterung zu arbeiten, in der aIle auftretenden algebraischen Zahlen enthalten sind. In den hier entwickelten AIgorithmen wird Rechnen in algebraischen Erweiterungskorpern meist erst zur Reprasentation der Losungen notwendig.

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Algebraische Algorithmen zur Lösung von linearen Differentialgleichungen by Winfried Fakler


by Jason
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