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By Hermann Stahl

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Beweis: „ ⇐ “: Sei zunächst R faktoriell. 15. „ ⇒ “: Gilt die Bedingung im Satz, so betrachten wir die Menge H aller Hauptideale (a) R mit a = 0, a ∈ / R∗ und so, dass a keine Darstellung als Produkt irreduzibler Elemente hat. Wir wollen H = ∅ zeigen. Angenommen, dies gilt nicht. Dann gilt zunächst, dass es ein maximales Element (a) ∈ H gibt, denn wäre das nicht der Fall, so würde man zu jedem Hauptideal (a0 ) in H ein Hauptideal (a1 ) finden mit (a0 ) (a1 ). Das Ganze führen wir mit (a1 ) fort und erhalten so eine aufsteigende Kette von Hauptidealen, die nicht stationär wird.

Wenn man zeigen möchte, dass das von einer Menge M erzeugte Ideal M R in einem anderen Ideal I enthalten ist, so genügt es dafür zu zeigen, dass die Erzeuger M in I liegen. Diese Eigenschaft ist völlig analog zu der für Untergruppen. Beispiel 13 Wir geben zwei Beispiele, bei denen ihr euch die Beweise einmal überlegen sollt. Besitzt der Ring ein Einselement, so ist das Ideal schon der ganze Ring. Das heißt, es gilt 1 = R. Es sei I ein Ideal. Gilt a ∈ I, so auch a ∈ I. 15 der Reduktion modulo n: Was man bei der Reduktion modulo einer Zahl n macht, ist die Zusammenfassung von ganzen Zahlen, die bei Division durch n denselben Rest erhalten.

Beispiel 14 Sind G = Z, n ∈ N und U = nZ, so erhalten wir für k, l ∈ Z, dass genau dann k ∼ l gilt, wenn l − k ∈ nZ ist, und die Äquivalenzklassen, also die Linksnebenklassen, sind k = k + nZ = {. . , k − 2n, k − n, k, k + n, k + 2n, . } , also für k ∈ {0, . . , n − 1} alle ganzen Zahlen, die bei Division durch n den Rest k lassen. Demzufolge ist die Menge aller Linksnebenklassen gleich Z/nZ = 0, 1, . . , n − 1 , also die Menge aller möglichen Reste bei Division durch n. Beachtet, dass wir hier mit Z statt mit N begonnen haben, was nötig war, da N im Gegensatz zu Z keine Gruppe ist, dass dies aber an den erhaltenen Äquivalenzklassen nichts ändert.

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Abriss einer Theorie der algebraischen Funktionen einer Veraenderlichen by Hermann Stahl


by William
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