Abhandlungen ueber die algebraische Aufloesung der by N. H. Abel, E. Galois PDF

By N. H. Abel, E. Galois

Zu der hinterlassenen Abllamllullg VOll Abel, S. 57-81. 1 Die Definition der Ordnung eines algebraischen Ausdrucks, wie sie auf Seite sixty seven gegeben ist, ist incorrcct und nach der auf S. 10 angefiihrten zu berichtigen. Die Ordnung eines algebraischen Ausdrucks ist additionally nicht gleich der Anzahl der in ihm ausser den bekannten Grossen auftretenden Wurzelgrossen, sondern vielmehr, wenn guy sich des Symbols V-Wie ublich zur Bezeichnung der Wurzelgrossen bedient, gleich der grossten von denjenigen Zahlen, welche angeben, wie viele solcher Wurzelzeichen sich in dem gegebenen algebraischen Ausdruck uber einander erstrecken. Dabei wird vorausgesetzt, dass, wenn ein Wurzelzeichen einen Index hat, welcher eine zusammengesetzte Zahl ist, dasselbe nach der Formel 1Jtn m -V-= VFso weit umgeformt werde, bis siimtliche Wurzelzeiehen Primzahl exponenten tragen, und dass sich keines dieser Wurzelzeichen durch Ausfuhrung der durch dasselbe angedeuteten Operation beseitigen Hisst. Kommen in einem algebraischen Ausdruck mehrere solcher auf einander oder auf algebrai. che Ausdrucke niederer Ordnung nicht reducierbarer Wurzelgrossen vor, in denen jene, die grosste Anzahl der iiber einander sich erstreekenden 'Wurzelzeichen angebenden Zahlen einander gleich sind, so giebt die Anzahl derselben den Grad des algebraischen Ausdrucks an. - Ist In die Ordnung des algebraischen Ausdrucks und bezeichnet guy die einzelnen Wurzelgrossen in der Reihenfolge, wie sie numerisch berechnet werden ter mussen, um den Wert der Wurzelgrosse m Ordnung zu erhalten, mit ""m-l . . . .

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Das Produkt der Nenner. Wenn A Nullteiler enth¨ alt, muss man die zus¨ atzlich Erweiterung um ein t zulassen. 38 KAPITEL 5. 11. Seien A, S, M wie in der Definition. ¨ (i) ∼ ist eine Aquivalenzrelation. (ii) Mit der Addition von Br¨ uchen ist S −1 M eine abelsche Gruppe. (iii) S −1 A mit der Addition und Multiplikation von Br¨ uchen ist ein Ring. Die Abbildung a → a1 ist ein Ringhomomorphismus. (iv) Mit der Multiplikation von Br¨ uchen ist S −1 M ein S −1 A-Modul. Beweis: Symmetrie und Reflexivit¨at ist klar.

Behauptung. Φ−1 Ugh = V (gXn+1 − 1)h := {(x1 , . . , xn+1 ) ∈ V (gXn+1 − 1)|h(x1 , . . , xn+1 ) = 0} 51 F¨ ur die Punkte (x1 , . . , xn+1 ) ∈ V (gXn+1 − 1) mit h(x1 , . . , xn ) = 0 liegt das Bild unter Φ offensichtlich in Ugh und umgekehrt. Sei andererseits U ⊂ V (gXn+1 − 1) standardoffen, also von der Form Uf mit f ∈ k[V (gXn+1 − 1]. In diesem Koordinatenring gilt Xn+1 = g −1 , also ist er gleich k[V ]g . Es U = Φ−1 Uf g . Bemerkung. Unsere standardoffenen Mengen sind also als Variet¨aten affin, n¨ amlich isomorph zu einer affinen Variet¨at.

Cm ein B-Erzeugendensystem von C, so sind die f (bi )cj ein A-Erzeugendensystem von C. 14. Sei A → B Ringhomomorphismus, b ∈ B ein Element. b ist genau dann ganz u ¨ber A, wenn b Nullstelle eines normierten Polynoms F ∈ A[X] ist. Beweis: Sei F = X n + a1 X n−1 + · · · + an ∈ A[X] mit Nullstelle b. Behauptung. 1, b, b2 , . . , bn−1 erzeugen A[b]. Es ist bn = −a1 bn−1 − · · · − an ∈< 1, . . , bn−1 >A ⊂ B Diese Relation multiplizieren wir mit b und es folgt bn+1 = −a1 bn − · · · − an b ∈< b, .

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by Paul
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