Zhukavets N.M., Shestakov I.P.'s A base of the free alternative superalgebra on one odd PDF

By Zhukavets N.M., Shestakov I.P.

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0 × K und DV , Somit ist das Kryptosystem S = ( P, C, K, f ) perfekt sicher. 2 Kennzeichnung perfekt sicherer Systeme Wir nehmen ab jetzt an, dass alle definierten Ereignisse = ∅ eine Wahrscheinlichkeit > 0 haben. Andernfalls kann man die Mengen P bzw. K verkleinern, d. , man entfernt Elemente aus den Mengen P und K, die mit Wahrscheinlichkeit 0 ausgewählt werden. Als Konsequenz sind die Ereignisse Dc und x × K genau dann unabhängig, wenn p ( Dc ∩ x × K ) = p ( Dc ) · p ( x × K ) ⇔ p ( Dc | x × K ) = p ( Dc ) ⇔ p ( x × K | Dc ) = p ( x × K ) .

Für das Nullpolynom f = (0, 0, . ) schreiben wir kurz 0. Wir erhalten für den Polynomring K [ X ] die Darstellung: K[X] = n ∑ ak X k ; k =0 n ∈ N 0 , a0 , . . , a n ∈ K . 1 Ist K ein Körper oder K = Z, so gilt für alle f , g ∈ K [ X ]: deg( f + g) ≤ max{deg f , deg g} und deg( f g) = deg f + deg g . Beweis. Offenbar stimmen die Regeln für f = 0 oder g = 0. Sind f und g beide ungleich 0, so gilt natürlich deg( f + g) ≤ max{deg f , deg g}. Die Aussage deg( f g) = deg f + deg g folgt durch Berechnen des höchsten Koeffizienten von f g.

A) Wir teilen das Polynom f durch d mit Rest (vgl. 2 zur Division mit Rest): f = d q + r und deg r < deg d. Es gilt dann r = f − ( f a + g b ) q ∈ ( f , g ). Das ist nur für r = 0 möglich, weil sonst ein Widerspruch zur Minimalität des Grades von d entstünde. Folglich gilt d | f . Analog zeigt man d | g. 5 (b) klar. 5 (c) nun die Eindeutigkeit von d. Sind nämlich d, d zwei normierte Polynome minimalen Grades aus ( f , g), so gilt d = a d mit einem a ∈ K. Da d und d normiert sind, gilt a = 1. 6 heißt größter gemeinsamer Teiler von f und g und wird als d = ggT( f , g) notiert.

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by Thomas
4.1

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